题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲
如图，直线经过⊙O上一点，且，，⊙O交直线于.

（1）求证：直线是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，求的长.

答案

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）5

解析

试题分析：（Ⅰ）如图，连接OC，

∵ OA=OB，CA=CB，∴ OC⊥AB，∴ AB是⊙O的切线 
（Ⅱ）∵ ED是直径， ∴ ∠ECD=90°，Rt△BCD中，
∵ tan∠CED=, ∴ = ， ∵ AB是⊙O的切线，
∴ ∠BCD=∠E，又 ∵ ∠CBD=∠EBC，∴ △BCD∽△BEC,
∴ == ， 设BD=x,则BC=2x， 
又BC²=BD·BE， ∴ =x·（ x＋6），
解得：x₁=0,x₂=2, ∵ BD=x＞0, ∴ BD=2， ∴ OA=OB=BD＋OD=3＋2=5
点评：应用圆中的知识点及直线与圆相切相交的线段长度关系推理计算