题目

题型：不详难度：来源：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB_l∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB₁于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值；
（3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．
①当t＞

3

5

时，连接C′C，设四边形ACC′A′的面积为S，求S关于t的函数关系式；
②当线段A′C′与射线BB，有公共点时，求t的取值范围（写出答案即可）．

答案

解（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=

32+42

=5．
∵AD=5t，CE=3t，
∴当AD=AB时，5t=5，∴t=1．
∴AE=AC+CE=3+3t=6，∴DE=6-5=1．
（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点∴GE=2．
当AD＜AE（即t＜

3

2

）时，DE=AE-AD=3+3t-5t=3-2t，
若△DEG∽△ACB，则

DE

EG

=

AC

BC

，
若△DEG∽△BCA，则

DE

EG

=

BC

AC

．
即有

3-2t

2

=

3

4

或

3-2t

2

=

4

3

成立，
∴t=

3

4

或t=

1

6

．
当AD＞AE．（即t＞

3

2

）时，DE=AD-AE=5t-（3+3t）=2t-3．，
若△DEG与△ACB相似，则

DE

EG

=

AC

BC

或

DE

EG

=

BC

AC

．
∴

2t-3

2

=

3

4

或

2t-3

2

=

4

3

．
所以t=

9

4

或t=

17

6

．
综上得，当t=

3

4

或

1

6

或

9

4

或

17

6

时．△DEG∽△ACB．
（3）①由轴对称变换得：AA′⊥DH，CC′⊥DH，
∴AA′∥CC′．易知OC≠AH故AA′≠CC′，
所以四边形ACC′A′是梯形．

∵∠A=∠A，∠AHD=∠ACB=90°．
∴△AHD∽△ACB．∴

AH

AC

=

DH

BC

=

AD

AB

．
∴AH=3t，DH=4t
．∵sin∠ADH=sin∠CDO
∴

AH

AD

=

CO

CD

，即

3

5

=

CO

5t-3

∴CO=3t-

9

5

．
∴AA′=2AH=6t，CC′=2CO=6t-

18

5

．
∵OD=CD•cos∠CD0=（5t-3）×

4

5

=4t-

12

5

．
∴OH=DH-OD=

12

5

．
∴S=

1

2

（AA′+CC′）•OH=

1

2

（6t+6t-

18

5

）×

12

5

=

72

5

t-

108

25

．
②当A′在BB′上时，A′和点B重合时，AH=

1

2

AB=

5

2

．此时cos∠BAC=

AH

AD

=

AC

AB

，得AD=

AH•AB

AC

=

25

6

=5t，∴t=

5

6

；
当C′在BB′上时，此时CC′=AB=5，∴CC′=6t+6t-

18

5

=5，t=

33

30

=

11

10

．
故当线段A′C′与射线BB′有公共点时所求t∈[

5

6

，

11

10

]．