题目

题型：不详难度：来源：

观察以下等式：
sin²30°＋cos²60°＋sin 30°·cos 60°＝，
sin²40°＋cos²70°＋sin 40°·cos 70°＝，
sin²15°＋cos²45°＋sin 15°·cos 45°＝.
…
写出反映一般规律的等式，并给予证明．

答案

sin²α＋cos²(α＋30°)＋ sin α·cos(α＋30°)＝

解析

反映一般规律的等式是(表述形式不唯一)：
sin²α＋cos²(α＋30°)＋ sin α·cos(α＋30°)＝.
证明如下：
sin²α＋cos²(α＋30°)＋sin α·cos(α＋30°)
＝sin²α＋(cos α·cos 30°－sin α·sin 30°)²
＋sin α·(cos αcos 30°－sin α·sin 30°)
＝sin²α＋²＋sin α ·cos α－sin²α
＝sin²α＋cos²α＋sin²α－sin α·cos α＋sin α·cos α－sin²α＝(sin²α＋cos²α)＝.