题目

题型：0111 期中题难度：来源：

将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=，
（Ⅰ）求证：DE⊥AC；
（Ⅱ）求DE与平面BEC所成角的正弦值；
（Ⅲ）直线BE上是否存在一点M，使得CM∥平面ADE，若存在，求点M的位置，若不存在，请说明理由。

答案

解：（Ⅰ）以A为坐标原点AB，AD，AE所在的直线分别
为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，
做BD的中点F并连接CF，AF，
由题意可得CF⊥BD且，
又∵平面BDA⊥平面BDC，
∴CF⊥平面BDA，
所以C的坐标为，
∴，
∴，
故DE⊥AC。
（Ⅱ）设平面BCE的法向量为，
则，
∴，
令x=1得，，
又，
设DE与平面BCE所成角为θ，
则；
（Ⅲ）假设存在点M使得CM∥面ADE，
则，，
∴，得，
又因为AE⊥平面ABD，AB⊥BD，
所以AB⊥平面ADE，
因为CM∥面ADE，
则，
得，
∴，
故点M为BE的中点时，CM∥面ADE。