在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1．
（ I）求二面角C-DE-C1的正切值；（ II）求直线EC1与FD1所成的余弦值． |
（I）以A为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，
则有D（0，3，0）、D1（0，3，2）、E（3，0，0）、F（4，1，0）、C1（4，3，2）
于是，=(3，-3，0)，=(1，3，2)，=（-4，2，2）
设向量=(x，y，z)与平面C1DE垂直，则有cosβ===⇒⇒x=y=-z
∴=(-，-，z)=（-1，-1，2），其中z＞0
取=(-1，-1，2)，则是一个与平面C1DE垂直的向量，
∵向量=（0，0，2）与平面CDE垂直，
∴与所成的角θ为二面角C-DE-C1的平面角
∵cosθ===
∴tanθ=
（II）设EC1与FD1所成角为β，则cosβ=== |
核心考点
试题【在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1．（ I）求二面角C-DE-C1的正】；主要考察你对
向量求夹角等知识点的理解。
[详细]举一反三
如图直角梯形OABC中，∠COA=∠AOB=90°，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，分别以OC，OA，OS为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz．
（Ⅰ）求与夹角的余弦值；
（Ⅱ）求OC与平面SBC夹角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角S-BC-O．
 |
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，点P在边AB上，设=λ（λ＞0），过点P作PE∥BC交AC于E，作PF∥AC交BC于F．沿PE将△APE翻折成△A′PE使平面A′PE⊥平面ABC；沿PE将△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．
（1）求证：B′C∥平面A′PE；
（2）是否存在正实数λ，使得二面角C-A′B′-P的大小为90°？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
 |
如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=．
（I）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-BC-D的余弦值；
（Ⅲ）求O点到平面ACD的距离．
 |
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．则A1B与平面ABD所成角的余弦值（ ）
 |
如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．
（1）求证：面EFG⊥面PAB；
（2）求异面直线EG与BD所成的角的余弦值；
（3）求点A到面EFG的距离．
 |
