题目

题型：不详难度：来源：

已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=a（a＞0）
（Ⅰ）求证：AC⊥BF；
（Ⅱ）若二面角F-BD-A的大小为60°，求a的值．

答案

（Ⅰ）证明：在△ACD中，AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos60°=4+1-2×2×1×

1

2

=3，
∴AC²+CD²=AD²，∴CD⊥CA，
∵ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴CA⊥AB，
∵矩形ACEF中，CA⊥AF，
∴CA⊥平面ABF，
∵BF⊂平面ABF，
∴AC⊥BF；
（Ⅱ）∵平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
∴CE⊥平面ABCD，
以CD为x轴，CA为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，
得C（0，0，0），D（1，0，0），A（0，

3

，0），F（0，

3

，a），B（-1，

3

，0），
∴

FB

=（-1，0，-a），

FD

=（1，-

3

，-a），
平面ABD的法向量

n

=（0，0，1），设平面FBD的法向量

m

=（x，y，z），
则

-x-az=0 x- 3 y-az=0

，
∴

m

=（-a，-

2a

3

，1），
∴cos60°=|cos＜

n

，

m

＞|=

1

a2+ 4 3 a2+1

=

1

2

．
∴a=

3 7

7

．