题目

题型：不详难度：来源：

（14分）如图，已知四棱锥的正视图和侧视图均是直角三角形，俯视图为矩形，N、F分别是SC、AB的中点， ，．
（1）求证：SA⊥平面ABCD
（2）求证：NF∥平面SAD；
（3）求二面角A-BN-C的余弦值．

答案

17. (1)∵∴-------(3分)
(2)取SD的中点N，连接MN，AM
∵N为SC的中点，∴MN∥CD且MN=
又矩形ABCD中，F为AB的中点，∴AF∥CD且AF=
∴AF∥MN且AF="MN  " 则四边形AFNM为平行四边形----------（5分）
∴AM∥FN   AM平面SAD   FN平面SAD  ∴NF∥平面SAD------（7分）
(3)以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，SA所在直线为轴的空间直角坐标系，如图所示．

则依题意可知相关各点的坐标分别是：
，，，，如下图所示．
∴------------------…（9分）
∴，
--------------（10分）
设平面ABN的法向量

令----------------------------------------（11分）
设平面的法向量，则，
所以     即                  
所以
令，则------------------------------  (12分)
∴ ------------    （13分）
由图形知，二面角是钝角二面角
所以二面角的余弦值为．........................................................ （14分）

解析

略