题目

题型：不详难度：来源：

如图，在长方体中，
，点在棱上移动 

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）当为的中点时，求点到面的距离；
（Ⅲ）等于何值时，二面角的大小为

答案

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

解析

本小题主要考查向量语言表述线线的垂直、平行关系、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．
（1）建立如图的坐标系，则

DA1

=(1，0，1)，设E（1，t，0），则

D1E

=(1，t，-1)，通过向量的数量积为0，计算可得D₁E⊥A₁D；
（2）当E为AB的中点时，E（1，1，0），

D1E

=(1，1，-1)，求出平面ACD₁的一个法向量，最后利用点到面的距离公式即可求点E到面ACD₁的距离．
（3）（2）连接DE，根据等腰直角三角形的性质，及线面垂直的判定和性质，可得DE⊥EC，D₁E⊥EC，进而由∠D₁ED即为二面角D₁-EC-D的平面角，解三角形D₁ED即可得到二面角D₁-EC-D的大小；
解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则
（Ⅰ）       ………4分
（Ⅱ）因为为的中点，则，从而，
，设平面的法向量为，则
也即，得，从而，所以点到平面的距离为           ………8分
（Ⅲ）设平面的法向量，
∴
由 令，
∴
依题意
∴（不合，舍去），  
∴时，二面角的大小为       ………12分