题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求证:平面PQB⊥平面PAD;
(Ⅱ)设PM="t" MC,若二面角M-BQ-C的平面角的大小为30°,试确定t的值.
答案
解析
(Ⅰ)法一:由AD∥BC,BC= AD,Q为AD的中点,知四边形BCDQ为平行四边形,故CD∥BQ.由∠ADC=90°,知QB⊥AD.由平面PAD⊥平面ABCD,知BQ⊥平面PAD.由此能够证明平面PQB⊥平面PAD.
法二:由AD∥BC,BC=
AD,Q为AD的中点,知四边形BCDQ为平行四边形,故CD∥BQ.由∠ADC=90°,知∠AQB=90°.由PA=PD,知PQ⊥AD,故AD⊥平面PBQ.由此证明平面PQB⊥平面PAD.
(Ⅱ)由PA=PD,Q为AD的中点,知PQ⊥AD.由平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,知PQ⊥平面ABCD.以Q为原点建立空间直角坐标系,利用向量法能够求出t=3.
解:(I)方法一∵AD // BC,BC=AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ .
∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD.又
∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴BQ⊥平面PAD.∵BQ平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD. ……………………6分
方法二:AD // BC,BC=AD,Q为AD的中点, ∴ 四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ .
∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90°. ∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD.
∵ PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ. ∵ AD平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD.…………6分
(II)∵PA=PD,Q为AD的中点, ∴PQ⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PQ⊥平面ABCD.
如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.
则平面BQC的法向量为;
,,
,.
设,则,,
∵,
∴ ,
∴ ………………9分
在平面MBQ中,,,
∴ 平面MBQ法向量为.
∵二面角M-BQ-C为30°,,
∴ . …………………………12分
核心考点
试题【如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,】;主要考察你对向量与空间位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.m//β且l⊥m | B.α//β且α⊥γ |
C.α⊥β且m//γ | D.α⊥γ且l⊥m |
(1)求证:MN//平面A1B1C1;
(2)求二面角B-C1M-C的平面角余弦值的大小.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)在棱上,且,若∥平面,求.
A.若∥a,∥β,则a∥β | B.若∥a,⊥β,则a⊥β |
C.若a⊥β,⊥a,则⊥β | D.若a⊥β, ∥a,则⊥β |
(1)求证:;
(2)若∠,M为线段AE的中点,求证:∥平面.
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