题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求与底面所成角的大小;
(Ⅱ)求证:平面;(Ⅲ)求二面角的余弦值.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ) 由于平面PDC垂直于平面AC,并且三角形PDC是等边三角形.所以通过做DC边上的高PO.即可得直线与底面所成角为∠PAO.通过底面AC是菱形可求得AO,所以通过解直角三角形PAO即可求得∠PAO 的大小.即为结论.
(Ⅱ) 通过建立空间坐标系,写出相关点A,P,D,B,C,M的坐标.计算出向量PA,向量DM,向量DC.通过向量PA与向量DM的数量积为0可得这两条直线垂直.同理可以证明PA垂直于DC.从而可得直线PA垂直于平面CDM.即通过向量知识证得线面垂直.
(Ⅲ)求二面角的余弦值通过求出平面DCM和平面BCM的法向量.再求两法向量的夹角的余弦值的绝对值,再根据图形判断正负即可.
试题解析:(I)取DC的中点O,由ΔPDC是正三角形,有PO⊥DC.
又∵平面PDC⊥底面ABCD,∴PO⊥平面ABCD于O.连结OA,则OA是PA在底面上的射影.
∴∠PAO就是PA与底面所成角.∵∠ADC=60°,由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形,从而求得OA=OP=.∴∠PAO=45°.∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°.
(II)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°,DC=2,DO=1,有OA⊥DC.建立空间直角坐标系如图,则, .
由M为PB中点,
∴.∴
.∴,
.
∴PA⊥DM,PA⊥DC. ∴PA⊥平面DMC.
(III).令平面BMC的法向量,
则,从而x+z=0; ……①, ,从而. ……②
由①、②,取x=−1,则. ∴可取.
由(II)知平面CDM的法向量可取,
∴.∴所求二面角的余弦值为-.…13分
核心考点
试题【如图,四棱锥中,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为的中点.(Ⅰ)求与底面所成角的大小;(Ⅱ)求证:平面;(Ⅲ)求二面角的余弦值. 】;主要考察你对向量与空间位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.平面必平行于 |
B.平面必与相交 |
C.平面必不垂直于 |
D.存在△的一条中位线平行于或在内 |
(1)求证:;
(2)求点的距离;
(3)求二面角的平面角的余弦值.
① 若一条直线垂直于一个平面内无数条直线,则这条直线与这个平面垂直;
② 若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面;
③ 若一条直线平行一个平面,另一条直线垂直这个平面,则这两条直线垂直;
④ 若两条直线垂直,则过其中一条直线有唯一一个平面与另外一条直线垂直;
A.①② | B.②③ | C.②④ | D.③④ |
(Ⅰ)平面PAD与平面PAB是否垂直?并说明理由;
(Ⅱ)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值.
(Ⅰ)求证:PD//平面AMC;
(Ⅱ)若AB=1,求二面角B—AC—M的余弦值。
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