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题目
题型:不详难度:来源:
如图,四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.

(1)证明B1C1⊥CE;
(2)求二面角B1­CE­C1的正弦值;
(3)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为,求线段AM的长.

答案
(1)见解析  (2)  (3)
解析
如图,以点A为原点,以AD,AA1,AB所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).
(1)证明:易得=(1,0,-1),=(-1,1-1),于是·=0,所以B1C1⊥CE.
(2)=(1,-2,-1).
设平面B1CE的法向量m=(x,y,z),
,即消去x,得y+2z=0,
不妨令z=1,可得一个法向量为m=(-3,-2,1).
由(1)知,B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1
可得B1C1⊥平面CEC1
=(1,0,-1)为平面CEC1的一个法向量.
于是cos〈m,〉=,从而sin〈m,〉=.
所以二面角B1—CE—C1的正弦值为.
(3)=(0,1,0),=(1,1,1).
=λ=(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有=(λ,λ+1,λ).
可取=(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量.
设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角,则
sin θ=|cos〈〉|=

于是,解得λ=(负值舍去),
所以AM=.
核心考点
试题【如图,四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.(1)证明B1】;主要考察你对向量与空间位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是平行四边形,且AC⊥CD,PA=AD,M,Q分别是PD,BC的中点.
(1)求证:MQ∥平面PAB;
(2)若AN⊥PC,垂足为N,求证:MN⊥PD.

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(2013•浙江)在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B=fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒有PQ1=PQ2,则(  )
A.平面α与平面β垂直
B.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°
C.平面α与平面β平行
D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°
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(2013•浙江)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.
(Ⅰ)证明:BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)若G是PC的中点,求DG与PAC所成的角的正切值;
(Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,求的值.

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如图所示,PA⊥⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________.

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如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.

(1)若点M是棱PC的中点,求证:PA∥平面BMQ;
(2)若二面角M—BQ—C为30°,设PM=tMC,试确定t的值.
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