题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:MQ∥平面PAB;
(2)若AN⊥PC,垂足为N,求证:MN⊥PD.
答案
解析
试题分析:(1)取PA的中点E,连结EM、BE,根据三角形的中位线定理证出ME∥AD且ME=AD,平行四边形中Q是BC的中点,可得BQ∥AD且BQ=AD,因此四边形MQBE是平行四边形,可得MQ∥BE,再结合线面平行的判定定理可得MQ∥平面PAB;
(2)由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥CD,结合AC⊥CD可得CD⊥平面PAC,从而有AN⊥CD.又因为AN⊥PC,结合PC、CD是平面PCD内的相交直线,可得AN⊥平面PCD,从而得到AN⊥PD.等腰△PAD中利用“三线合一”,证出AM⊥PD,结合AM、AN是平面AMN内的相交直线,得到PD⊥平面AMN,从而得到MN⊥PD.
(1)取PA的中点E,连结EM、BE,
∵M是PD的中点,∴ME∥AD且ME=AD,
又∵Q是BC中点,∴BQ=BC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD且BC=AD,可得BQ∥ME且BQ=ME,
∴四边形MQBE是平行四边形,可得MQ∥BE, (4分)
∵BE⊂平面PAB,MQ⊄平面PAB,
∴MQ∥平面PAB; (6分)
(2)∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD,
又∵AC⊥CD,PA、AC是平面PAC内的相交直线,
∴CD⊥平面PAC,结合AN⊂平面PAC,得AN⊥CD. (9分)
又∵AN⊥PC,PC、CD是平面PCD内的相交直线,
∴AN⊥平面PCD,结合PD⊂平面PCD,可得AN⊥PD, (12分)
∵PA=AD,M是PD的中点,∴AM⊥PD, (13分)
又∵AM、AN是平面AMN内的相交直线,∴PD⊥平面AMN,
∵MN⊂平面AMN,∴MN⊥PD. (14分)
核心考点
试题【如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是平行四边形,且AC⊥CD,PA=AD,M,Q分别是PD,BC的中点.(1)求证:MQ∥平面PA】;主要考察你对向量与空间位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.平面α与平面β垂直
B.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°
C.平面α与平面β平行
D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°
(Ⅰ)证明:BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)若G是PC的中点,求DG与PAC所成的角的正切值;
(Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,求的值.
(1)若点M是棱PC的中点,求证:PA∥平面BMQ;
(2)若二面角M—BQ—C为30°,设PM=tMC,试确定t的值.
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