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题目
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(2013•浙江)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.
(Ⅰ)证明:BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)若G是PC的中点,求DG与PAC所成的角的正切值;
(Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,求的值.

答案
(1)见解析   (2)    (3)
解析
(Ⅰ)证明:∵在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,∴PA⊥BD. 
∵AB=BC=2,AD=CD=,设AC与BD的交点为O,则BD是AC的中垂线,故O为AC的中点,且BD⊥AC.
而PA∩AC=A,∴BD⊥面PAC.
(Ⅱ)若G是PC的中点,O为AC的中点,则GO平行且等于PA,故由PA⊥面ABCD,可得GO⊥面ABCD,
∴GO⊥OD,故OD⊥平面PAC,故∠DGO为DG与平面PAC所成的角.
由题意可得,GO=PA=
△ABC中,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12,
∴AC=2,OC=
∵直角三角形COD中,OD==2,
∴直角三角形GOD中,tan∠DGO==
(Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,∵OG⊂平面BGD,∴PC⊥OG,且 PC==
由△COG∽△PCA,可得,即 ,解得GC=
∴PG=PC﹣GC==,∴==
核心考点
试题【(2013•浙江)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.(Ⅰ)证明:BD】;主要考察你对向量与空间位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图所示,PA⊥⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________.

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如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.

(1)若点M是棱PC的中点,求证:PA∥平面BMQ;
(2)若二面角M—BQ—C为30°,设PM=tMC,试确定t的值.
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如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面AC,BC边上存在点Q,使得PQ⊥QD,则实数a的取值范围是________.

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如图,已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高,E为AD的中点.

(1)证明:PE⊥BC;
(2)若∠APB=∠ADB=60°,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.
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(本小题满分12分)如图,在三棱柱中,底面,E、F分别是棱的中点.

(Ⅰ)求证:AB⊥平面AA1 C1C;
(Ⅱ)若线段上的点满足平面//平面,试确定点的位置,并说明理由;
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