题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
如图，在长方体中，，为的中点，为的中点。
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正弦值。

答案

 , 

解析

方法一：（1）根据已知在长方体，
在中， ，（3分）
同理可求，，（理3分，文4分）
∴，∴，即。（6分）

（2）设点到平面的距离为，连结，则 ，
∴，（8分）
而，在中，，（10分）
，所以，∴，
即点到平面的距离为，
故与平面所成角的正弦值为．（12分）
方法2：（1）以点为原点，分别以为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，（2分）

依题意，可得 。（4分）
∴，
，
∴ ，
即，∴。（6分）
（2）设，且平面，则
 ，即，
∴解得，
取，得，所以与平面所成角的正弦值为
。（12分）