题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求证:AE⊥PD;
(Ⅱ)若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为,求二面角E-AF-C的余弦值.
答案
(2)
解析
(Ⅰ)证明:由四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC为正三角形.
因为E为BC的中点,所以AE⊥BC.又BC∥AD,因此AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以PA⊥AE.
而PA平面PAD,AD平面PAD 且PA∩AD=A,
所以 AE⊥平面PAD,又PD平面PAD.所以 AE⊥PD. 6分
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,
设AB=2,AP=a,则A(0,0,0),B(,-1,0),C(,1,0),D(0,2,0),P(0,0,a),E(,0,0),F(),
所以=(,-1,-a),且=(,0,0)为平面PAD的法向量,设直线PB与平面PAD所成的角为θ,
由sinθ=|cos<,>|=== 8分
解得a="2" 所以=(,0,0),=(,,1)
设平面AEF的一法向量为m=(x1,y1,z1),则,因此取z1=-1,则m=(0,2,-1), 10分 因为BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,所以BD⊥平面AFC,故为平面AFC的一法向量.又=(-,3,0),
所以cos<m,>=.
因为二面角E-AF-C为锐角,所以所求二面角的余弦值为.
核心考点
试题【如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为蓌形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点。 (Ⅰ)求证:AE⊥PD;(Ⅱ)若直线PB】;主要考察你对平面的法向量等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)证明 平面;
(2)证明平面EFD;
(3)求二面角的大小.
(I) 当点E为AB的中点时,求证;BD1//平面A1DE
(II)求点A1到平面BDD1的距离;
(III) 当时,求二面角D1-EC-D的大小.
A.l∥α | B.l⊥α | C.l⊂α | D.l与α斜交 |
(1)证明:SA⊥BC;
(2)求直线SD与平面SAB所成角的大小;
(3)求二面角D-SA-B的大小.
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