题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:面PCD⊥面PBD;
(2)求直线PC和平面PAD所成角的正弦值的大小;
(3)在棱PA上是否存在一点E,使得二面角A-BE-D的余弦值为?若存在,指出点E在棱PA上的位置,若不存在,说明理由.
答案
解析
又∵CD⊥PD,PD∩PB=P,PD,PB⊂平面PBD.
∴CD⊥平面PBD,又CD⊂平面PCD,
∴平面PCD⊥平面PBD.
(2)如图,以B为原点,BA,BC,BP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
设BC=a,BP=b,则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,a,0),
D(2,2,0),P(0,0,b).
∵=(2,2,-b),=(2,2-a,0),CD⊥PD,
∴·=0,∴4+4-2a=0,a=4,
又=(2,0,-b),=(2,-2,0),
异面直线PA和CD所成角等于60°,
∴=,
即=,解得b=2,
=(0,4,-2),=(0,2,0),=(2,0,-2).
设平面PAD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
则由得
取n1=(1,0,1),
∵sin θ===,∴直线PC和平面PAD所成角的正弦值为.
(3)解 假设存在,设=λ,且E(x,y,z),则(x,y,z-2)=λ(2,0,-2),E(2λ,0,2-2λ),设平面DEB的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),
则由得
取n2=(λ-1,1-λ,λ),
又平面ABE的法向量n3=(0,1,0),
由cos θ==,得=,解得λ=或λ=2(不合题意).
∴存在这样的E点,E为棱PA上的靠近A的三等分点.
核心考点
试题【如图,在四棱锥P-ABCD中,已知PB⊥底面ABCD,BC⊥AB,AD∥BC,AB=AD=2,CD⊥PD,异面直线PA和CD所成角等于60°.(1)求证:面PC】;主要考察你对平面的法向量等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证:;
(2)求二面角 的余弦值.
(1)证明:平面平面.
(2)求直线EC与平面BED所成角的正弦值.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)设点是线段上一个动点,试确定点的位置,使得平面,并证明你的结论.
(1)求证:B1C∥平面A1BD;
(2)求平面A1DB与平面DBB1夹角的余弦值.
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