题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:;
(2)求二面角的余弦值.
答案
解析
试题分析:(1)连结交于点,连结.由长度比例关系可知,得到.再根据线面平行的判定得到;(2)方法一:采用空间向量法,以点为坐标原点,为轴,垂直为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系,设,那么点确定.再根据向量关系求出二面角的平面角的余弦值为;方法二:纯几何法,取的中点,延长交的延长线于点,根据三角形相似关系可以得到二面角的平面角为.
试题解析:(1)连结,交于点,连结,
∵,, ∴
又 ∵, ∴
∴ 在△BPD中,
∴∥平面
(2)方法一:以为原点,所在直线分别为轴、轴,如图建立空间直角坐标系.
设,则,,,,.
设为平面的一个法向量,
则,,∴,
解得,∴.
设为平面的一个法向量,则,,
又,,∴,
解得,∴
∴二面角的余弦值为.
方法二:在等腰Rt中,取中点,连结,则
∵面⊥面,面面=,∴平面.
在平面内,过作直线于,连结,由、,
得平面,故.
∴就是二面角的平面角.
在中,设,,,
,,
由,可知:∽,
∴, 代入解得:.
在中,,
∴,.
∴二面角的余弦值为.
核心考点
举一反三
(1)证明:;
(2)证明:求二面角的余弦值;
(3)设点是平面内的动点,求的最小值.
(1)求证:;
(2)若点为线段中点,求点到平面的距离;
(3)在线段上是否存在点,使得与平面所成角为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(1)若为的中点,证明:面;
(2)求二面角的余弦值.
(1)证明:面;
(2)证明:面面;
(3)求三棱锥的体积.
(1)当最小时,求证:;
(2)当时,求二面角平面角的余弦值.
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