题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:;
(2)若点为线段中点,求点到平面的距离;
(3)在线段上是否存在点,使得与平面所成角为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
答案
解析
试题分析:
(1)据题意,要证明,由线面垂直的性质例一得到只需要证明DC面ABD,又有面ABD与面BCD垂直,故根据面面垂直的性质,只需要证明DC垂直于面ABD与面BCD的交线BD,DC与BC垂直的证明可以放在直角梯形中利用勾股定理与余弦定理证明,三角形BCD为直角三角形.
(2)由(1)得平面,所以.以点为原点,所在的直线为轴,所在直线为轴,利用三维空间直角坐标系即可求的点面距离,即首先求出线段MC与面ADC的法向量的夹角,再利用三角函数值即可求的点面距离.此外,该题还可以利用等体积法来求的点面距离,即三棱锥M-ADC的体积,分别以M点为顶点和以A点为定点来求解三棱锥的体积,解出高即为点面距离.
(3)该问利用坐标法最为简洁,在第二问建立的坐标系的基础上,设,,利用来表示N点的坐标,求出面ACD的法向量,法向量与AN所成的夹角即为与平面所成角为的余角,利用该条件即可求出的值,进而得到N点的位置.
试题解析:
(1)证明:因为,
,,所以,, 1分
, 2分
,所以 3分.
因为平面平面,平面平面,
所以平面 4分.
又平面,所以 5分.
(2)解法1:因为平面,所以.以点为原点,所在的直线为轴,所在直线为轴,过点作垂直平面的直线为轴,建立空间直角坐标系,如图.由已知,得,,,,.所以,,. 7分.设平面的法向量为,则,,所以令,得平面的一个法向量为 9分
所以点到平面的距离为 10分.
解法2:由已知条件可得,,所以.
由(1)知平面,即为三棱锥的高,
又,所以 7分.
由平面得到,设点到平面的距离为,
则 8分.
所以,, 9分.
因为点为线段中点,所以点到平面的距离为 10分.
解法3:因为点为线段的中点,所以点到平面的距离等于点到平面的距离的. 6分 由已知条件可得,由(I)知,又,
所以平面, 8分
所以点到平面的距离等于线段的长. 9分
因为,所以点到平面的距离等于. 10分
(3)假设在线段上存在点,使得与平面所成角为 11分.
设,,,则,所以,. 12分
又平面的一个法向量为,且直线与平面所成的角为,
所以, 即,
可得, 解得或(舍去). 13分
综上所述,在线段上是否存在点,使得与平面所成角为,
此时. 14分.
核心考点
试题【在直角梯形中,,,,如图,把沿翻折,使得平面平面.(1)求证:;(2)若点为线段中点,求点到平面的距离;(3)在线段上是否存在点,使得与平面所成角为?若存在,求】;主要考察你对空间向量的基本概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若为的中点,证明:面;
(2)求二面角的余弦值.
(1)证明:面;
(2)证明:面面;
(3)求三棱锥的体积.
(1)当最小时,求证:;
(2)当时,求二面角平面角的余弦值.
①(a·b)2=a2·b2;②|a+b|>|a-b|;③|a+b|2=(a+b)2;④若a∥b,则a·b=|a|·|b|.其中真命题的个数是( )
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
(1)若点E在SD上,且证明:平面;
(2)若三棱锥S-ABC的体积,求面SAD与面SBC所成二面角的正弦值的大小
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