题目
题型:不详难度:来源:
(1)证明:AB=AC
(2)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小
答案
解析
试题分析:(1)证明AB=AC,往往转化为证明对应线段垂直,即证边上中线垂直.取BC中点F,连接EF,AF,易得ADEF为平行四边形,从而AF//DE. 又DE⊥平面,可得AF⊥BC.(2)求直线与平面所成角的关键在于找面的垂线.而面的垂线,往往从面面垂直的性质定理中取到.观察图形可知,BC⊥平面DEF,从而平面BCD⊥平面DEF.过作两平面的交线的垂线就是平面BCD的垂线.因为本题三维垂直关系已知,所以也可利用空间向量进行求解.已知条件的二面角与所求线面角有一个相同的平面,这也简化了运算量.
试题解析:
解法一:(1)取BC中点F,连接EF,则EF,从而EFDA。
连接AF,则ADEF为平行四边形,从而AF//DE。又DE⊥平面,故AF⊥平面,从而AF⊥BC,即AF为BC的垂直平分线,所以AB=AC。 5分
(2)作AG⊥BD,垂足为G,连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD,故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知,∠AGC=600..
设AC=2,则AG=。又AB=2,BC=,故AF=。
由得2AD=,解得AD=。 9分
故AD=AF。又AD⊥AF,所以四边形ADEF为正方形。
因为BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故BC⊥平面DEF,因此平面BCD⊥平面DEF。
连接AE、DF,设AE∩DF=H,则EH⊥DF,EH⊥平面BCD。
连接CH,则∠ECH为与平面BCD所成的角。.
因ADEF为正方形,AD=,故EH=1,又EC==2,
所以∠ECH=300,即与平面BCD所成的角为300. 12分
解法二:
(1)以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系A—xyz。
设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则(1,0,2c),E(,,c).
于是=(,,0),=(-1,b,0).由DE⊥平面知DE⊥BC, =0,求得b=1,所以 AB=AC。 5分
(2)设平面BCD的法向量则
又=(-1,1, 0),
=(-1,0,c),故
令x=1,则y=1,z=,=(1,1,).
又平面的法向量=(0,1,0)
由二面角为60°知,=60°,
故 °,求得 9分
于是 ,
,
°
所以与平面所成的角为30° 12分
核心考点
试题【如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC1(1)证明:AB=AC(2)设二面角A-BD-C为60°,】;主要考察你对空间向量的基本概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)设是的中点,证明:平面;
(2)证明:在内存在一点,使平面,并求点到,的距离.
(1)若AC1⊥D1F,求a的值;
(2)若a=2,求二面角E-FD1-D的余弦值.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值.
(1)求证:平面;
(2)设二面角的大小为,若,求的长.
(1)求证:BE⊥平面PCD;
(2)求二面角A一PD-B的大小.
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