题目
题型:不详难度:来源:
(1)若AC1⊥D1F,求a的值;
(2)若a=2,求二面角E-FD1-D的余弦值.
答案
解析
试题分析:(1)首先建立空间直角坐标系,列出各对应点坐标,表示对应向量坐标,(-2,2,a),(0,1,-a),再根据空间向量数量积定义,得到2-a2=0,从而求出a的值,(2)先判断二面角E-FD1-D为锐二面角,所以求二面角E-FD1-D的余弦值,就转化为求两个平面法向量夹角的余弦值的绝对值.又平面FD1D的一个法向量为,所以关键求平面EFD1的一个法向量n=(x,y,z),利用 n⊥,n⊥可求出x=y=2z,取其一个法向量为n=(2,2,1),再利用空间向量夹角公式,就可得到二面角E-FD1-D的余弦值.
试题解析:解 如图,以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,
DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立坐标系.
(1)由题意得A(2,0,0),D1(0,0,a),C1(0,2,a),F(0,1,0).
故 (-2,2,a), (0,1,-a). 2分
因为AC1⊥D1F,所以,即(-2,2,a)·(0,1,-a)=0.
从而2-a2=0,又a>0,故. 5分
(2)平面FD1D的一个法向量为m=(1,0,0). 设平面EFD1的一个法向量为n=(x,y,z),
因为E(1,0,0),a=2,故=(-1,1,0),(0,1,-2).
由n⊥,n⊥,得-x+y=0且y-2z=0,解得x=y=2z.
故平面EFD1的一个法向量为n=(2,2,1). 8分
因为,且二面角E-FD1-D的大小为锐角,
所以二面角E-FD1-D的余弦值为. 10分
核心考点
试题【在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=a,E,F分别为AD,CD的中点.(1)若AC1⊥D1F,求a的值;(2)若a=2,求二面角E-F】;主要考察你对空间向量的基本概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值.
(1)求证:平面;
(2)设二面角的大小为,若,求的长.
(1)求证:BE⊥平面PCD;
(2)求二面角A一PD-B的大小.
(1)求证:平面平面;
(2)当M为的中点时,求直线与平面所成角的正弦值.
(1)求证:BC⊥平面A1DC;
(2)若CD=2,求BE与平面A1BC所成角的正弦值。
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