题目

题型：不详难度：来源：

如图，正方形A₁BA₂C的边长为4，D是A₁B的中点，E是BA₂上的点，将△A₁DC
及△A₂EC分别沿DC和EC折起，使A₁、A₂重合于A，且平面ADC⊥平面EAC．
（1）求证：AC⊥DE；

（2）求二面角A-DE-C的余弦值。

答案

（1）证明过程详见试题解析；（2）二面角的余弦值为.

解析

试题分析：（1）由已知条件证出互相垂直，以为坐标系原点建立空间坐标系，写出各点坐标，求出即证得AC⊥DE；（2）先求出平面DCE的法向量，平面的法向量，两法向量的夹角即为所求.
∵平面平面，且
∴平面,∴
设，在Rt，
，∴是中点
分别以AD,AE,AC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系

（1）

(2)设平面DCE的法向量为
，且
，
又平面,∴平面的法向量为.
∴二面角的余弦值为