题目
题型:不详难度:来源:
(1)证明:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值.
答案
解析
试题分析:(1)可以建立空间直角坐标系,利用向量数量积来证明。也可以利用综合法:要证,由于是异面直线,可将问题转化为证明线面垂直。由于点为棱的中点,可以先取中点,连结,从而可证得。由线面垂直的判定定理易证平面,从而,最后证得;(2)向量法:先求平面的法向量,然后利用公式求直线与平面所成角的正弦值.综合法:在(1)的基础上,可先证明为直线与平面所成的角,在直角三角形中,利用锐角三角函数即可求得直线与平面所成角的正弦值;(3)向量法:先求平面和平面的法向量,再利用公式来求二面角的余弦值.综合法:先利用三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角,再利用解三角形的有关知识求其余弦值.
试题解析:(方法一)依题意,以点为原点建立空间直角坐标系(如图),可得,,,.由为棱的中点,得.
(1)向量,,故. ∴.
(2)向量,.设为平面的法向量,则即不妨令,可得为平面的一个法向量.于是有,∴直线与平面所成角的正弦值为.
(3)向量,,,.由点在棱上,设,,故,由,得,因此,,解得,即.设为平面的法向量,则即不妨令,可得为平面的一个法向量.取平面的法向量,则.易知,二面角是锐角,∴其余弦值为.
(方法二)(1)如图,取中点,连结,.由于分别为的中点,故,且,又由已知,可得且,故四边形为平行四边形,∴.
∵,故,而,从而,∵平面,于是,又,∴.
(2)连结,由(1)有,得,而,故.又∵,为的中点,故,可得,∴,故.∴直线在平面内的射影为直线,而,可得为锐角,故为直线与平面所成的角.依题意,有,而为中点,可得,进而.故在直角三角形中,,因此,∴直线与平面所成角的正弦值为.
(3)如图,在中,过点作交于点.∵,故,从而.又,得,因此.在底面内,
可得,从而.在平面内,作交于点,于是.由于,故,∴四点共面.由, ,得,故,∴为二面角的平面角.在中,,,,由余弦定理可得,.∴二面角的斜率值为.
核心考点
举一反三
(1)证明:平面;
(2)求二面角的大小
(1)求的长;
(2)求二面角的正弦值.
A.x=6,y=15 | B.x=3,y= |
C.x=3,y=15 | D.x=6,y= |
A.x=1,y=1 | B.x=1,y= |
C.x=,y= | D.x=,y=1 |
A.(1,-1,1) | B.(1,3,) |
C.(1,-3,) | D.(-1,3,-) |
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