题目
题型:不详难度:来源:
(1)证明:平面;
(2)求二面角的大小
答案
解析
试题分析:(1)求证:平面,证明线面垂直,先证线线垂直,即证线和平面内两条相交直线垂直,由已知可得,只需证明,或,由已知平面平面,只需证明,就得平面,即,而由已知,在直角梯形中,易求,从而满足,即得,问题得证;(2)求二面角的大小,可用传统方法,也可用向量法,用传统方法,关键是找二面角的平面角,可利用三垂线定理来找,但本题不存在利用三垂线定理的条件,因此利用垂面法,即作,与交于点,过点作,与交于点,连结,由(1)知,,则,,所以是二面角的平面角,求出的三条边,利用余弦定理,即可求出二面角的大小,用向量法,首先建立空间坐标系,先找三条两两垂直的直线作为坐标轴,观察几何图形可知,以为原点,分别以射线为轴的正半轴,建立空间直角坐标系,写出个点坐标,设出设平面的法向量为,平面的法向量为,求出它们的一个法向量,利用法向量的夹角与二面角的关系,即可求出二面角的大小.
(1)在直角梯形中,由,得,,由,则,即,又平面平面,从而平面,所以,又,从而平面;
(2)方法一:作,与交于点,过点作,与交于点,连结,由(1)知,,则,,所以是二面角的平面角,在直角梯形中,由,得,又平面平面,得平面,从而,,由于平面,得:,在中,由,,得,
在中,,,得,在中,,,,得,,从而,在中,利用余弦定理分别可得,在中,,所以,即二面角的大小是.
方法二:以为原点,分别以射线为轴的正半轴,建立空间直角坐标系如图所示,由题意可知各点坐标如下:,设平面的法向量为,平面的法向量为,可算得,,由得,,可取,由得,,可取,于是,由题意可知,所求二面角是锐角,故二面角的大小是.
点评:本题主要考查空间点,线,面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用 ,同时考查空间想象能力,与推理论证,运算求解能力.
核心考点
举一反三
(1)求的长;
(2)求二面角的正弦值.
A.x=6,y=15 | B.x=3,y= |
C.x=3,y=15 | D.x=6,y= |
A.x=1,y=1 | B.x=1,y= |
C.x=,y= | D.x=,y=1 |
A.(1,-1,1) | B.(1,3,) |
C.(1,-3,) | D.(-1,3,-) |
A.5 | B. | C.4 | D.2 |
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