题目

题型：不详难度：来源：

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为

2 3

3

，焦距为2c，且2a²=3c，双曲线 上一点P满足

PF1

•

PF2

=2（F₁、F₂为左右焦点），则|

PF1

|•|

PF2

|=______．

答案

∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为

2 3

3

，
∴

c

a

=

2 3

3

，可得a=

3

2

c，从而b=

c2- a2

=

1

2

c
又∵2a²=3c，即2（

3

2

c）²=3c，
∴c=2，a=

3

，b=1，可得双曲线方程为

x2

3

-y2=1
∵点P在双曲线上，∴根据双曲线的定义，得

|PF1|

-

|PF2|

=±2

3

因此（

|PF1|

-

|PF2|

）²=12，即

|PF1|

²-2

|PF1|

•

|PF2|

+

|PF2|

²=12…①
∵

PF1

•

PF2

=

|PF1|•

|PF2|

cosP=2
∴cosP=

2

|PF1| |PF2|

=

|PF1| 2+ |PF2| 2- |F1F2| 2

2 |PF1| • |PF2|

结合

|F1F2|

=2c=4，化简整理得：即

|PF1|

²+

|PF2|

²=20，代入①，可得

|PF1|

•

|PF2|

=4
故答案为：4