题目

题型：不详难度：来源：

设函数f(x)= ×，其中向量="(2cosx,1)," =(cosx, sin2x+m)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和f(x)在[0, p]上的单调递增区间；
(2)当xÎ[0]时,ô f(x)ô <4恒成立，求实数m的取值范围．

答案

(1) f(x)的最小正周期T=p，在[0, p]上的单调递增区间为[0,],[,p]；
(2) -4<m<1. 

解析

试题分析：(1)f(x)= ×=2cos²x+sin2x+m                              1分
=cos2x+sin2x+m+1=2sin(2x+)+m+1                                  3分
∴f(x)的最小正周期T=p，                                        4分
在[0, p]上的单调递增区间为[0,],[,p]                           6分
(2)∵当xÎ[0,]时，递增，当xÎ[,]时，递减，
∴当时，的最大值等于.                         8分
当x=时，的最小值等于m.                            10分
由题设知解之得，-4<m<1.        12分
点评：中档题，本题综合考查平面向量的数量积，平面向量的坐标运算，三角函数的和差倍半公式，三角函数、二次函数的图象和性质。利用向量的运算，得到三角函数式，运用三角公式进行化简，以便于利用其它知识解题，是这类题的显著特点。本题（2）涉及角的范围，易于出错。