题目

题型：不详难度：来源：

向量

a

，

b

满足|

a

|=|

b

|=1，|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，（k＞0）．
（1）求

a

•

b

关于k的解析式f（k）；
（2）请你分别探讨

a

⊥

b

和

a

∥

b

的可能性，若不可能，请说明理由，若可能，求出k的值；
（3）求

a

与

b

夹角的最大值．

答案

（1）由已知有|k

a

+

b

|²=（

3

|

a

-k

b

|）²，
又∵|

a

|=|

b

|=1，则可得

a

•

b

=

k2+1

4k

（k＞0）
即f（k）=

k2+1

4k

（k＞0）…（4分）
（2）∵k＞0，

a

•

b

=

k2+1

4k

＞0，故

a

与

b

不可能垂直．
若

a

∥

b

，又

a

•

b

＞0，则

a

与

b

只可能同向，
故有

a

•

b

=

k2+1

4k

=1，即k²-4k+1=0，
又k＞0，故k=2±

3

，
∴当k=2±

3

时，

a

∥

b

…（8分）
（3）设

a

，

b

的夹角为θ，则
cosθ=

a • b

| a || b |

=

a

•

b

=

k2+1

4k

=

1

4

(k+

1

k

)≥

1

4

×2

k• 1 k

=

1

2

，
当且仅当k=

1

k

，（k＞0）即k=1时，取等号，即（cosθ）_min=

1

2

，
又0≤θ≤π，故θ的最大值为

π

3

．…（12分）