题目
题型:不详难度:来源:
(1)若直线l与抛物线交于两点A、B,且OM⊥AB(O是坐标原点,M是垂足),求动点M的轨迹方程;
(2)若C、D两点在抛物线y2=4x上,且满足
OC |
OD |
答案
∵抛物线y2=4x的焦点是F(1,0),直线l恒过点F,且与抛物线交于两点A、B,
又OM⊥AB,
∴
OM |
FM |
OM |
FM |
∴(x,y)•(x-1,y)=0,化简,得x2+y2-x=0.
又当M与原点重合时,直线l与x轴重合,故x≠0.
∴所求动点M的轨迹方程是x2+y2-x=0(x≠0).
(2)设点C、D的坐标为(x1,y1)、(x2,y2).
∵C、D在抛物线y2=4x上,
∴y12=4x1,y22=4x2,即x1+x2=
| ||||
4 |
| ||||
16 |
又
OC |
OD |
∴x1x2+y1y2=-4,即
| ||||
16 |
∵点C、D的坐标为(x1,y1)、(x2,y2),
∴直线CD的一个法向量是
n |
可得直线CD的方程为:(y1-y2)(x-x1)+(x2-x1)(y-y1)=0,
化简,得(y1-y2)x+(x2-x1)y+x1y2-y1x2=0,进一步用y1、y2分别替换x1、x2,有(y1-y2)x+
y1+y2 |
4 |
又抛物线y2=4x上任两点的纵坐标都不相等,即y1-y2≠0.
∴直线CD的方程可化为x-
y1+y2 |
4 |
∴直线CD恒过定点,且定点坐标为(2,0).
核心考点
试题【已知抛物线y2=4x,F是焦点,直线l是经过点F的任意直线.(1)若直线l与抛物线交于两点A、B,且OM⊥AB(O是坐标原点,M是垂足),求动点M的轨迹方程;(】;主要考察你对平面向量数量积的运算等知识点的理解。[详细]
举一反三
PM |
PN |
2 |
x |
PA |
PB |
a |
b |
(1)求
a |
a |
b |
(2)若α-β=
π |
3 |
a |
b |
AB |
AC |
AD |
BC |
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