题目

题型：0112 期末题难度：来源：

已知定义域为R的函数f(x)对任意的x，y∈R，f(x)≠0，且f(x+y)=f(x)f(y)，
(1)求f(0)，并证明：；
(2)若f(x)为单调函数，f(1)=2，向量，是否存在实数λ，对任意θ∈[0，2π)，使恒成立？若存在，求出λ的取值范围，若不存在，说明理由.

答案

解：(1)令y=x=0，得，
又∵f(x)≠0，
∴f(0)=1，
由f(x+y)=f(x)f(y)，得=，
∵f(x)≠0，
∴。
(2)∵f(0)=1，f(1)=2，且f(x)是单调函数，
∴f(x)是增函数，
而，
∴，即，
又∵因为f(x)是增函数，
∴≤3恒成立，，
即，
令t=sinθ，得，(﹡)
∵，
∴，即-1≤t≤1，
令，
①当，即λ＜-2时，只需，(﹡)成立，
∴λ+3≥0，解得-3≤λ＜-2；
②当，即-2≤λ≤2时，只需，(﹡)成立，
∴，解得，
∴-2≤λ≤2；
③当，即λ＞2时，只需，(﹡)成立，
∴λ≤3， ∴2＜λ≤3；
综上，-3≤λ≤3。