题目

题型：天津高考真题难度：来源：

如图，双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，F₁、F₂分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且，
（1）求双曲线的方程；
（2）设A（m，0）和B（）（0＜m＜1）是x轴上的两点，过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E，证明直线DE垂直于x轴。

答案

解：（1）根据题设条件，，
设点M（x，y），则x、y满足，
因，解得，
故，
利用，得，于是，
因此，所求双曲线方程为；
（2）设，
则直线l的方程为，
于是两点坐标满足，
将（1）代入（2）得
，
由，上面方程可化简为
，
由已知，显然，
于是，
因为，得；
同理，两点坐标满足，
可解得，
所以，故直线DE垂直于x轴。