对抛物线C：x2=4y，有下列命题：①设直线l：y=kx+l，则直线l被抛物线C所截得的最短弦长为4；②已知直线l：y=kx+l交抛物线C于A，B两点，则以AB - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

对抛物线C：x²=4y，有下列命题：
①设直线l：y=kx+l，则直线l被抛物线C所截得的最短弦长为4；
②已知直线l：y=kx+l交抛物线C于A，B两点，则以AB为直径的圆一定与抛物线的准线相切；
③过点P（2，t）（t∈R）与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或3条；
④若抛物线C的焦点为F，抛物线上一点Q（2，1）和抛物线内一点R（2，m）（m＞1），过点Q作抛物线的切线l₁，直线l₂过点Q且与l₁垂直，则l₂一定平分∠RQF．
其中你认为是真命题的所有命题的序号是______．

答案

①因为抛物线的焦点为F（0，1），直线y=kx+l过焦点F，所以当k=0时，直线l被抛物线C所截得的通径最短，此时为2p=4，所以①正确．
②直线y=kx+l过焦点F，且抛物线的准线方程为y=-1．所以根据抛物线的定义可知，A，B到抛物线准线的距离之和为AB，
所以AB的中点到准线的距离为

，所以此时以AB为直径的圆一定与抛物线的准线相切，所以②正确．
③当过点P的直线的斜率不存在时，此时为x=2，此时直线和抛物线只有一个交点，此时满足条件的直线只有1条．当过点P的直线斜率存在时，不妨设为k，
此时和抛物线只有一个交点的直线有两条切线，所以过点P（2，t）（t∈R）与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或2条，所以③错误．
④因为抛物线的焦点为F（0，1），又Q（2，1），R（2，m），所以三角形FQR为直角三角形，由x²=4y，得y=

x2，求导得y′=

x，
所以切线l₁的斜率为k₁=1，即直线l₁的倾斜角为45°，因为直线l₂过点Q且与l₁垂直，所以l₂一定平分∠RQF．所以④正确．
故答案为：①②④．

核心考点

试题【对抛物线C：x2=4y，有下列命题：①设直线l：y=kx+l，则直线l被抛物线C所截得的最短弦长为4；②已知直线l：y=kx+l交抛物线C于A，B两点，则以AB】；主要考察你对四种命题的概念等知识点的理解。[详细]

举一反三

若对函数y=f（x）定义域内的每一个值x₁，都存在唯一的值x₂，使得f（x₁）f（x₂）=1成立，则称此函数为“K函数”，给出下列三个命题：
①y=x^-2是“K函数”；
②y=2^x是“K函数”；
③y=lnx是“K函数”，
其中正确命题的序号是______．

题型：不详难度：| 查看答案

给出定义：若m-

＜x≤m+

（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的三个命题：
①y=f（x）的定义域是R，值域是（-

，

]；
②函数y=f（x）的最小正周期为1；
③函数y=f（x）在（-

，

]上是增函数．
则上述命题中真命题的序号是．

题型：不详难度：| 查看答案

关于函数f（x）=2^x-2^-x（x∈R）有下列三个结论：
①f（x）的值域为R；
②f（x）是R上的增函数；
③对任意x∈R，有f（-x）+f（x）=0成立；
其中所有正确的序号为（　　）

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

题型：不详难度：| 查看答案

给出下列命题：
①y=

x2+3

x2+2

的最小值为2；
②若a＞b，则

＜

成立的充要条件是ab＞0；
③若不等式x²+ax-4＜0对任意x∈（-1，1）恒成立，则实数a的取值范围为（-3，3）．
真命题的序号是______．

题型：不详难度：| 查看答案

若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；
③l∥α，l⊥β，则α⊥β．
其中正确的命题有（　　）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

题型：不详难度：| 查看答案

最新试题

热门考点