题目

题型：不详难度：来源：

下面给出的4个命题：
①已知命题p：∀x₁，x₂∈R，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，则¬p：∃x₁，x₂∈R，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

≥0；
②函数f（x）=2^-x-sinx在[0，2π]上恰好有2个零点；
③对于定义在区间[a，b]上的连续不断的函数y=f（x），存在c∈（a，b），使f（c）=0的必要不充分条件是f（a）f（b）＜0；
④对于定义在R上的函数f（x），若实数x₀满足f（x₀）=x₀，则称x₀是f（x）的不动点．若f（x）=x²+ax+1不存在不动点，则a的取值范围是（-1，3）．
其中正确命题的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

答案

命题p：∀x₁，x₂∈R，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0的否定¬p：∃x₁，x₂∈R，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

≥0；故①正确；
∵函数y=2^-x与函数y=sinx的图象在[0，2π]上恰好有2个交点，故函数f（x）=2^-x-sinx在[0，2π]上恰好有2个零点，故②正确；
根据零点存在定理，可得在区间[a，b]上的连续不断的函数y=f（x），若f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上存在零点，即存在c∈（a，b），使f（c）=0；但存在c∈（a，b），使f（c）=0时，f（a）f（b）＜0不一定成立，故存在c∈（a，b），使f（c）=0的充分不必要条件是f（a）f（b）＜0；故③不正确；
f（x）=x²+ax+1不存在不动点，则方程x²+ax+1=x，即x²+（a-1）x+1=0无实数根，即△=（a-1）²-4＜0，
解得a∈（-1，3），故④正确；
故正确命题的个数是3个
故选C