已知命题p：∀x∈R，cos2x+sinx+a≥0，命题q：∃x∈R，ax2-2x+a＜0，命题p∨q为真，命题p∧q为假．求实数a的取值范围． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知命题p：∀x∈R，cos2x+sinx+a≥0，命题q：∃x∈R，ax²-2x+a＜0，命题p∨q为真，命题p∧q为假．求实数a的取值范围．

答案

由命题p得a≥-cos2x-sinx=2sin2x-sinx-1=2(sinx-

)2-

，
因为sinx∈[-1，1]，
所以当sinx=-1时，（2sin²x-sinx-1）_max=2，
所以命题p：a≥2
由命题q得：当a≤0时显然成立；
当a＞0时，需满足△=4-4a²＞0，解得0＜a＜1
所以命题q：a＜1
因为命题p∨q为真，命题p∧q为假，所以命题p和q一真一假
若命题p真q假，则a≥2；若命题p假q真，则a＜1
综上，实数a的取值范围是（-∞，1）∪[2，+∞）

核心考点

试题【已知命题p：∀x∈R，cos2x+sinx+a≥0，命题q：∃x∈R，ax2-2x+a＜0，命题p∨q为真，命题p∧q为假．求实数a的取值范围．】；主要考察你对四种命题的概念等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知命题p：∃x∈R，使2x2+(k-1)x+

≤0；命题q：方程

9-k

k-1

=1表示焦点x轴上的椭圆，若￢p为真命题，p∨q为真命题，求实数k的取值范围．

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PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中正确命题的序号是______．

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定义“正对数”：ln+x=

0，0＜x＜1

lnx，x≥1

，现有四个命题：
①若a＞0，b＞0，则ln⁺（a^b）=bln⁺a
②若a＞0，b＞0，则ln⁺（ab）=ln⁺a+ln⁺b
③若a＞0，b＞0，则ln+(

)≥ln+a-ln+b
④若a＞0，b＞0，则ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+ln2
其中正确的命题有（　　）

A．①③④

B．①②③

C．①②④

D．②③④

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定义在R上的函数f（x）=-x-x³，设x₁+x₂≤0，下列不等式中正确的序号有______．
①f（x₁）f（-x₁）≤0　
②f（x₂）f（-x₂）＞0
③f（x₁）+f（x₂）≤f（-x₁）+f（-x₂）　
④f（x₁）+f（x₂）≥f（-x₁）+f（-x₂）

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已知命题p：∃x∈R，x²+2ax+a≤0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是______．

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