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反函数

反函数的符号

  反函数的符号记为f -1(x),在中国的教材里,反三角函数记为arcsin,arccos等等,但是在欧美一些国家,sinx的反函数记为sin(x)。咋看咋感觉这记号大有来头,怎么就觉得和x这种记号有些关系呢?

  事实上,这种想法是对的,数学里没有无缘无故的规定。x表示1/x,那么f(x)与这是否有些关系呢?下面举几个例子来说明这点。当然,f(x)肯定和1/f(x)不等,但是确实有与之很相近的性质。

  1:反函数的反函数

  为了好看以及对比,我有时会把f(x)写成f.对比,我把我想各位应该很好理解,反函数的反函数当然就是原函数,写成数学语言就是(f)=f,看看,这是不是有点像指数的运算法则:(x)=x呢?

  2:反函数的导函数

  这个应该就很像了。这也是高等数学的内容,中学同学就看不懂了,所以有些东西必须等到后面才能懂的。

  (f(x))’=1/f'(y)

  用自然语言来说就是,反函数的导数,等于原函数导数的倒数。这话有点绕,不过应该能读懂,这个似乎就进一步揭示了反函数符号的意义。

  在这里要说明的是,y=x的反函数应该是x=y。只不过在通常的情况下,我们将x写作y,y写作x,以符合习惯。所以,虽然反函数和原函数不互为倒数,但是其导函数却是互为倒数。

  3:反函数的复合函数

  话说这个内容属于高等数学的内容了。大伙想想函数里面最简单最基本的函数是什么函数?不用说,肯定就是我们的恒等函数y=x,这就和我们数字里面的1一般地位,所以,我们记恒等函数为“1x”。

  数字的基本运算就是加减乘除,而函数也有运算,虽然也有加减乘除,但是属于函数自己的,就是复合与反函数。我们知道在实数里,x与x的乘积等于1,在函数的复合运算里,也有类似的性质,函数f和g的复合记为f○g,那么下面的性质成立

  f○f=1x

  1x○f=f○1x=f

  这第一个式子已经说明很多问题。实际上,这些都是属于高等代数的内容,在每一个封闭的系统里,都有一个“单位1”,都有自己的运算法则,函数里的就是1x,实数里的就是数字1等等。要深刻理解这些,也只有大家接触群论以后才会深入理解。这里也只是做点皮毛而已。我将在后面另起一文,介绍函数的“幂”的概念,就如同数的幂一样。

反函数定义

  一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x,这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f -1 (x) 。反函数y=f -1 (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。

  一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应,y=f(x),则y=f(x)的反函数为x=f -1(y)。存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。注意:上标"−1"指的并不是幂。

  在微积分里,f (n)(x)是用来指f的n次微分的。

  若一函数有反函数,此函数便称为可逆的(invertible)。

  简单的说,就是把y与x互换一下,比如y=x+2的反函数首先用y表示x即x=y-2,把x、y位置换一下就行那么y=x+2反函数就是y=x-2

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