题目

题型：不详难度：来源：

为贯彻“激情工作，快乐生物”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选—题答—题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为.
（1）求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；
（2）设选手甲在初赛中答题的个数，试写出的分布列，并求的数学期望。

答案

（1）选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率为；（2）详见解析.

解析

试题分析：（1）先确定甲答题次数不超过四次进入决赛有两种基本情况：一是答对三道，二是第四道答对，前三道答对两道，并根据事件的独立性计算出相应事件的概率，然后再将这两个概率相加得到题中涉及的事件的概率；（2）列举出随机变量的可能取值，根据独立性重复试验与事件的独立性求出随机变量在相应取值下对应的概率，并列举出随机变量的分布列，最后计算出随机变量的数学期望.
试题解析：（1）选手甲答3道题进入决赛的概率为，
选手甲答4道题进入决赛的概率为，
∴选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；
（2）依题意，的可能取值为3、4、5.则有，
，
，
因此，有
∴.