题目
题型:福建模拟难度:来源:
(Ⅰ)求曲线Γ的方程;
(Ⅱ)若点A,B,C是Γ上的不同三点,且满足
FA |
FB |
FC |
答案
所以点P的轨迹是以F(1,0)为焦点,x=-1为准线的抛物线,其方程为y2=4x.…(4分)
(Ⅱ)解法一:假设△ABC是直角三角形,不失一般性,设∠A=90°,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
则由
AB |
AC |
AB |
AC |
可得(x2-x1)(x3-x1)+(y2-y1)(y3-y1)=0.…(6分)
因为xi=
yi2 |
4 |
所以(y1+y2)(y1+y3)+16=0.…(8分)
又因为
FA |
FB |
FC |
0 |
所以y2y3=-16. ①
又y12+y22+y32=4(x1+x2+x3)=12,
所以(-y2-y3)2+y22+y32=12,即y22+y32+y2y3=6. ②…(10分)
由①,②得y22+(-
16 |
y2 |
因为△=(-22)2-4×256=-540<0.
所以方程③无解,从而△ABC不可能是直角三角形.…(12分)
解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由
FA |
FB |
FC |
0 |
得x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0.…(6分)
由条件的对称性,欲证△ABC不是直角三角形,只需证明∠A≠90°.
(1)当AB⊥x轴时,x1=x2,y1=-y2,从而x3=3-2x1,y3=0,即点C的坐标为(3-2x1,0).
由于点C在y2=4x上,所以3-2x1=0,即x1=
3 |
2 |
此时A(
3 |
2 |
6 |
3 |
2 |
6 |
(2)当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为:x=ty+m(t≠0),代入y2=4x,
整理得:y2-4ty-4m=0,则y1+y2=4t.
若∠A=90°,则直线AC的斜率为-t,同理可得:y1+y3=-
4 |
t |
由y1+y2+y3=0,得y1=4t-
4 |
t |
4 |
t |
由x1+x2+x3=3,可得y12+y22+y32=4(x1+x2+x3)=12.
从而(4t-
4 |
t |
4 |
t |
整理得:t2+
1 |
t2 |
11 |
8 |
△=(-11)2-4×8×8=-135<0,所以方程①无解,从而∠A≠90°.…(11分)
综合(1),(2),△ABC不可能是直角三角形.…(12分)
核心考点
试题【平面内动点P到点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离,记点P的轨迹为曲线Γ.(Ⅰ)求曲线Γ的方程;(Ⅱ)若点A,B,C是Γ上的不同三点,且满足FA+FB】;主要考察你对求轨迹方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
5 |
5 |
5 |
(1)求焦点F2的轨迹C的方程;
(2)若直线y=kx+b(k>0)与曲线C交于M、N两点,以MN为直径的圆经过原点,求实数b的取值范围.
1 |
4 |
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)H是曲线E与y轴正半轴的交点,曲线E上是否存在两点M、N,使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.
m |
n |
m |
n |
n |
m |
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)斜率为k的直线l过点(0,
k2+1 |
OA |
OB |
3 |
5 |
3 |
4 |
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