题目
题型:不详难度:来源:
答案
对于⊙O上任意一点A′,连AA′,作AA′的垂直平分线MN,连OA′,交MN于点P,则OP+PA=OA′=R.
由于点A在⊙O内,故OA=a<R.从而当点A′取遍圆周上所有点时,点P的轨迹是以O、A为焦点,OA=a为焦距,R(R>a)为长轴的椭圆C.
而MN上任一异于P的点Q,都有OQ+QA=OQ+QA′>OA′,故点Q在椭圆C外,即折痕上所有的点都在椭圆C上及C外.
反之,对于椭圆C上或外的一点S,以S为圆心,SA为半径作圆,交⊙O于A′,则S在AA′的垂直平分线上,从而S在某条折痕上.
最后证明所作⊙S与⊙O必相交.
1° 当S在⊙O外时,由于A在⊙O内,故⊙S与⊙O必相交;
2° 当S在⊙O内时(例如在⊙O内,但在椭圆C外或其上的点S′),取过S′的半径OD,则由点S′在椭圆C外,故OS′+S′A≥R(椭圆的长轴).即S′A≥S′D.于是D在⊙S′内或上,即⊙S′与⊙O必有交点.
于是上述证明成立.
综上可知,折痕上的点的集合为椭圆C上及C外的所有点的集合.
核心考点
试题【一张纸上画有一个半径为R的圆O和圆内一个定点A,且OA=a,折叠纸片,使圆周上某一点A′刚好与点A重合.这样的每一种折法,都留下一条折痕.当A′取遍圆周上所有点】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
x2 |
9 |
y2 |
4 |
A.相交 | B.相切 | C.相离 | D.不确定 |
①点M的轨迹是抛物线;
②点M的轨迹是一条与x轴垂直的直线;
③点M的轨迹是抛物线或一条直线.