题目

题型：不详难度：来源：

设抛物线C：y²=4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点．
（1）设L的斜率为2，求|AB|的大小；
（2）求证：

OA

•

OB

是一个定值．

答案

（1）依题意得F（1，0），∴直线L的方程为y=2（x-1），
设直线L与抛物线的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=2(x-1) y2=4x

消去y整理得x²-3x+1=0，
∴x₁+x₂=3，x₁x₂=1．
法一：|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

32-4•1

=5．
法二：|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=3+2=5．
（2）证明：设直线L的方程为x=ky+1，
设直线L与抛物线的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x=ky+1 y2=4x

消去x整理得y²-4ky-4=0．
∴y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4，
∵

OA

•

OB

═（x₁，y₁）•（x₂，y₂）
=x₁x₂+y₁y₂=（ky₁+1）（ky₂+1）+y₁y₂
=k²y₁y₂+k（y₁+y₂）+1+y₁y₂
=-4k²+4k²+1-4=-3．
∴

OA

•

OB

是一个定值为-3．