题目
题型:海淀区二模难度:来源:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
a2+b2 |
2 |
3 |
(I)求椭圆C的方程和其“准圆”方程.(II)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点,过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,且l1,l2分别交其“准圆”于点M,N.
①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时,求l1,l2的方程;
②求证:|MN|为定值.
答案
2 |
3 |
所以椭圆的方程为
x2 |
3 |
准圆的方程为x2+y2=4.
(II)(1)因为准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P(0,2),
设过点P(0,2),且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2,
所以
|
因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点,
所以△=144k2-4×9(1+3k2)=0,
解得k=±1.
所以l1,l2方程为y=x+2,y=-x+2.
(2)①当l1,l2中有一条无斜率时,不妨设l1无斜率,
因为l1与椭圆只有一个公共点,则其方程为x=
3 |
3 |
当l1方程为x=
3 |
3 |
3 |
此时经过点(
3 |
3 |
同理可证l1方程为x=-
3 |
②当l1,l2都有斜率时,设点P(x0,y0),其中x02+y02=4,
设经过点P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y=t(x-x0)+y0,
则
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即(1+3t2)x2+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0)2-3=0,△=[6t(y0-tx0)]2-4•(1+3t2)[3(y0-tx0)2-3]=0,
经过化简得到:(3-x02)t2+2x0y0t+1-y02=0,
因为x02+y02=4,所以有(3-x02)t2+2x0y0t+(x02-3)=0,
设l1,l2的斜率分别为t1,t2,因为l1,l2与椭圆都只有一个公共点,
所以t1,t2满足上述方程(3-x02)t2+2x0y0t+(x02-3)=0,
所以t1•t2=-1,即l1,l2垂直.
综合①②知:因为l1,l2经过点P(x0,y0),又分别交其准圆于点M,N,且l1,l2垂直,
所以线段MN为准圆x2+y2=4的直径,所以|MN|=4.
核心考点
试题【给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为a2+b2的圆是椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F(2,0),其短轴上的一个端点到】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
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2 |
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设
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3 |
A.
| B.
| C.
| D.
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x2 |
a |
A.
| B.
| C.3 | D.9 |
A.3
| B.2
| C.
| D.
|
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
A.(0,
| B.(
| C.(1,
| D.(
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