直角坐标系下，O为坐标原点，定点E（4，0），动点M（x，y）满足MO•ME=x2．（Ⅰ）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；（Ⅱ）过定点F（1，0）作互相垂直的 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：台州二模难度：来源：

直角坐标系下，O为坐标原点，定点E（4，0），动点M（x，y）满足

•

=x²．
（Ⅰ）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过定点F（1，0）作互相垂直的直线l₁，l₂分别交轨迹C于点M，N和点R，Q，求四边形MRNQ面积的最小值．

答案

（Ⅰ）由题意：动点M（x，y）满足

•

=x²，
∴（-x，-y）•（4-x，-y）=x²，即y²=4x为点M的轨迹方程．…（4分）
（Ⅱ）由题易知直线l₁，l₂的斜率都存在，且不为0，不妨设MN方程为y=k（x-1）
与y²=4x联立得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴x1+x2=

2k2+4

由抛物线定义知：|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2=

4(k2+1)

…（7分）
同理RQ的方程为y=-

(x-1)，求得|RQ|=4（k²+1）．…（9分）
∴SMRNQ=

|MN|•|RQ|=8

(k2+1)2

=8(k2+

+2)≥32． …（13分）
当且仅当k²=1，k=±1时取“=”，
故四边形MRNQ的面积的最小值为32．…（15分）

核心考点

试题【直角坐标系下，O为坐标原点，定点E（4，0），动点M（x，y）满足MO•ME=x2．（Ⅰ）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；（Ⅱ）过定点F（1，0）作互相垂直的】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

设椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于表中：

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-2

-4

已知点A（-1，0）、B（1，0）和动点M满足：∠AMB=2θ，且|AM|•|BM|cos²θ=3，动点M的轨迹为曲线C，过点B的直线交C于P、Q两点．
（1）求曲线C的方程；
（2）求△APQ面积的最大值．

已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x正半轴上，倾斜角为锐角的直线l过F点．设直线l与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线交于M点，

=λ

，其中λ＞0
（I）若λ=1，求直线l的斜率；
（II）若点A、B在x轴上的射影分别为A₁、B₁，且|

B1F

|，|

|，2|

A1F

|成等差数列，求λ的值．

以双曲线4x²-y²=4的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是（　　）

A．y2=2

B．y2=2

C．y2=4

D．y2=4

已知定点A（0，2），B（0，-2），C（2，0），动点P满足：

•

=m|

|2
（I）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；
（II）当m=2时，设点P（x，y）（y≥0），求

x-8

的取值范围．