已知抛物线C：y2=4x，动直线l：y=k（x+1）与抛物线C交于A，B两点，O为原点．（1）求证：OA•OB是定值；（2）求满足OM=OA+OB的点M的轨迹方 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线C：y²=4x，动直线l：y=k（x+1）与抛物线C交于A，B两点，O为原点．
（1）求证：

•

是定值；
（2）求满足

的点M的轨迹方程．

答案

由

y2=4x

y=k(x+1)

得k²x²+（2k²-4）x+k²=0．
由k≠0，且△＞0，得-1＜k＜1，且k≠0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-2，x₁x₂=1．
（1）证明：

•

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²（x₁+1）（x₂+1）
=（k²+1）x₁x₂+k²（x₁+x₂）+k²
=k²+1+k²（

-2）+k²=5，
∴

•

=5为常数．
（2）

=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（

-2，

）．
设M（x，y），则

-2

消去k得y²=4x+8．
又∵x=

-2＞2，故M的轨迹方程为y²=4x+8（x＞2）．

核心考点

试题【已知抛物线C：y2=4x，动直线l：y=k（x+1）与抛物线C交于A，B两点，O为原点．（1）求证：OA•OB是定值；（2）求满足OM=OA+OB的点M的轨迹方】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知抛物线C：y²=4x，F是抛物线的焦点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是C上异于原点O的两个不重合点，OA丄OB，且AB与x轴交于点T
（1）求x₁x₂的值；
（2）求T的坐标；
（3）当点A在C上运动时，动点R满足：

，求点R的轨迹方程．

题型：不详难度：| 查看答案

若抛物线y²=2px上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A，B，则p的取值范围是（　　）

A．（-

，0）

B．（0，

）

C．（0，

）

D．（-∞，0）∪（

，+∞）

题型：和平区一模难度：| 查看答案

若抛物线y²=ax上恒有关于直线x+y-1=0对称的两点A，B，则a的取值范围是（　　）

A．（-

，0）

B．（0，

）

C．（0，

）

D．（-∞，0）∪（

，+∞）

题型：和平区一模难度：| 查看答案

直线3x-4y+4=0与抛物线x²=4y和圆x²+（y-1）²=1从左到右的交点依次为A、B、C、D，则

|AB|

|CD|

的值为（　　）

A．16

B．4

C．

D．

题型：石家庄二模难度：| 查看答案

已知双曲线C₁的渐近线方程是y=±

x，且它的一条准线与渐近线y=

x及x轴围成的三角形的周长是

(1+

)．以C₁的两个顶点为焦点，以C₁的焦点为顶点的椭圆记为C₂．
（1）求C₂的方程；
（2）已知斜率为

的直线l经过定点P（m，0）（m＞0）并与椭圆C₂交于不同的两点A、B，若对于椭圆C₂上任意一点M，都存在θ∈[0，2π]，使得

=cosθ•

+sinθ•

成立．求实数m的值．

题型：吉安二模难度：| 查看答案

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