题目

题型：不详难度：来源：

已知双曲线的中心在原点O，其中一条准线方程为x=

3

2

，且与椭圆

x2

25

+

y2

13

=1有共同的焦点．
（1）求此双曲线的标准方程；
（2）（普通中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，试问：是否存在实数k，使得以弦AB为直径的圆过点O？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
（重点中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，C是直线L₁：y=mx+6上任一点（A、B、C三点不共线）试问：是否存在实数k，使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

答案

（1）由已知得：c2=12，

a2

c

=

3

2

，则a²=3，b²=9，
因此所求双曲线的标准方程为

x2

3

-

y2

9

=1．---（4分）
（2）（普通中学学生做）
将y=kx+3代入

x2

3

-

y2

9

=1得（3-k²）x²-6kx-18=0，
则由3-k²≠0，△=216-36k²＞0得：-

6

＜k＜

6

，k≠±

3

，---（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是上述方程的两个根，
由题意知：OA⊥OB，则x₁x₂+y₁y₂=0，---（9分）
又y₁=kx₁+3，y₂=kx₂+3，
则x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=

9k2-9

k2-3

=0，即k=±1满足条件．---（12分）
（重点中学学生做）
将y=kx+3代入

x2

3

-

y2

9

=1得（3-k²）x²-6kx-18=0，
则由3-k²≠0，△=216-36k²＞0得：-

6

＜k＜

6

，k≠±

3

，---（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是上述方程的两个根，
由题意知：A、B两点关于直线L₁对称，---（9分）
则AB的中点D的坐标为(

3k

3-k2

，

9

3-k2

)，
并满足直线L₁的方程y=-

1

k

x+6，则k=±1满足条件．---（12分）