题目

题型：不详难度：来源：

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)过点(

3

，

2

2

)，它的离心率为

6

2

，P、Q分别在双曲线的两条渐近线上，M是线段PQ中点，|PQ|=2

2

．
（Ⅰ）求双曲线及其渐近线方程；
（Ⅱ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅲ）过C左焦点F₁的直线l与C相交于点A、B，F₂为C的右焦点，求△ABF₂面积最大时

F2A

•

F2B

的值．

答案

（Ⅰ）∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)过点(

3

，

2

2

)，它的离心率为

6

2

，
∴

3

a2

-

1

2b2

=1，且

a2+b2

a2

=(

6

2

)2，
解得a²=2，b²=1，
∴双曲线方程是

x2

2

-y2=1，
它的渐近线方程是y=

1

2

x，y=-

1

2

x．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，不妨设P(x1，

x1

2

)，Q(x2，-

x2

2

)，
设M（x，y），则有x1+x2=2x，

x1

2

-

x2

2

=2y．
∵|PQ|=2

2

，∴(x1-x2)2+(

x1

2

+

x2

2

)2=8，
∴(2

2

y)2+(

2x

2

)2=8，
化简得轨迹C的方程为

x2

4

+y2=1．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，
根据题意直线l与x轴不能重合，
∴设l的方程为x=ky-

3

，设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）．
把x=ky-

3

代入

x2

4

+y2=1，
化简并整理得(k2+4)y2-2

3

ky-1=0，
∴y3+y4=

2 3 k

k2+4

，y₃y₄=-

1

k2+4

，
∴|y3-y4|=

(y3+y4)2-4y3y4

=

( 2 3 k k2+4 )2+ 4 k2+4

=4

1 (k2+1)+ 9 k2+1 +6

，
∴△ABF₂面积S=

1

2

|F1F2|•|y3-y4|=4

3

•

1 (k2+1)+ 9 k2+1 +6

≤4

3

•

1 2 (k2+1)• 9 k2+1 +6

=2，
当且仅当k2+1=

9

k2+1

时，即等号成立．
∴当k=

2

时，y3+y4=

6

3

，y3y4=-

1

6

，
∴x3+x4=k(y3+y4)-2

3

=-

4 3

3

，x3x4=(ky3-

3

)(ky4-

3

)=k2y3y4-

3

k(y3+y4)+3=

2

3

，
∴

F2A

•

F2B

=(x3-

3

，y3)•(x4-

3

，y4)=x3x4-

3

(x3+x4)+3+y3y4=

15

2

．
同理，当k=-

2

时，

F2A

•

F2B

=

15

2

．
综上所述，

F2A

•

F2B

=

15

2

．…（14分）