题目

题型：不详难度：来源：

如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率是

2

2

，A₁，A₂分别是椭圆C的左、右两个顶点，点F是椭圆C的右焦点．点D是x轴上位于A₂右侧的一点，且满足

1

|A1D|

+

1

|A2D|

=

2

|FD|

=2．
（1）求椭圆C的方程以及点D的坐标；
（2）过点D作x轴的垂线n，再作直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点P，直线l交直线n于点Q．求证：以线段PQ为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标．

答案

（1）A₁（-a，0），A₂（a，0），F（c，0），设D（x，0），
由

1

|A1D|

+

1

|A2D|

=2有

1

x+a

+

1

x-a

=2，
又|FD|=1，∴x-c=1，∴x=c+1，
于是

1

c+1+a

+

1

c+1-a

=2，
∴c+1=（c+1+a）（c+1-a），
又∵

c

a

=

2

2

⇒a=

2

c，∴c+1=(c+1+

2

c)(c+1-

2

c)，
∴c²-c=0，又c＞0，∴c=1，
∴a=

2

，b=1，
∴椭圆C：

x2

2

+y2=1，且D（2，0）．
（2）证明：∵Q（2，2k+m），设P（x₀，y₀），
由

y=kx+m x2 2 +y2=1

⇒

x2

2

+(kx+m)2=1⇒x²+2（kx+m）²=2⇒（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
由于△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-2）=0⇒2k²-m²+1=0⇒m²=2k²+1（*），
而由韦达定理：2x0=

-4km

2k2+1

，
∴x0=

-2km

2k2+1

，
由（*）可得

-2km

m2

=-

2k

m

，∴y0=kx0+m=-

2k2

m

+m=

1

m

，∴P(-

2k

m

，

1

m

)，
设以线段PQ为直径的圆上任意一点M（x，y），
由

MP

•

MQ

=0有(x+

2k

m

)(x-2)+(y-

1

m

)(y-(2k+m))=0⇒x2+y2+(

2k

m

-2)x+(2k+m+

1

m

)y+(1-

2k

m

)=0，
由对称性知定点在x轴上，令y=0，取A时满足上式，故过定点C．