如图，抛物线C1：x2=2py（p＞0）的焦点为F，椭圆C2：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=32，C1与C2在第一象限的交点为P（3，12）（ - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

如图，抛物线C₁：x²=2py（p＞0）的焦点为F，椭圆C₂：

=1（a＞b＞0）的离心率e=

，C₁与C₂在第一象限的交点为P（

，

）
（1）求抛物线C₁及椭圆C₂的方程；
（2）已知直线l：y=kx+t（k≠0，t＞0）与椭圆C₂交于不同两点A、B，点M满足

，直线FM的斜率为k₁，试证明k•k₁＞

-1

．

答案

（1）将P（

，

）代入x²=2py得p=3，∴抛物线C₁的方程为x²=6y，焦点F（0，

）
把P（

，

）代入

=1得

4b2

=1，又e=

，∴a=2，b=1故椭圆C₂的方程为

=1
（2）由直线l：y=kx+t与

=1联立得（1+4k²）x²+8ktx+4（t²-1）=0，△＞0得1+4k²＞t²
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则x1+x2=

-8kt

1+4k2

由题意点M为线段AB的中点，设M（x_M，y_M），
∴xM=

-4kt

1+4k2

，yM=

1+4k2

，
∴k1=

2t-3(1+4k2)

-8kt

∴kk1＞

3t2-2t

3t-2

＞-

核心考点

试题【如图，抛物线C1：x2=2py（p＞0）的焦点为F，椭圆C2：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=32，C1与C2在第一象限的交点为P（3，12）（】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知椭圆的一个焦点为(

，0)，且长轴长为短轴长的

倍．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的下顶点为A，且椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M，N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．

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如图，已知椭圆

=1(a＞b＞0)过点(1，

)，离心率为

，左、右焦点分别为F₁、F₂．点P为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂．
（Ⅰ）证明：

=2；
（Ⅱ）问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k_OA、k_OB、k_OC、k_OD满足k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

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已知曲线Cx²-y²=1及直线l：y=kx-1．
（1）若l与C左支交于两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为

，求实数k的值．

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已知F₁，F₂为双曲线

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点．
（Ⅰ）若点P为双曲线与圆x²+y²=a²+b²的一个交点，且满足|PF₁|=2|PF₂|，求此双曲线的离心率；
（Ⅱ）设双曲线的渐近线方程为y=±x，F₂到渐近线的距离是

，过F₂的直线交双曲线于A，B两点，且以AB为直径的圆与y轴相切，求线段AB的长．

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[理]如图，已知动点A，B分别在图中抛物线y²=4x及椭圆

=1的实线上运动，若AB∥x轴，点N的坐标为（1，0），则△ABN的周长l的取值范围是______．
[文]点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，则P到直线y=x-2的距离的最小值是______．

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