已知曲线Cx2-y2=1及直线l：y=kx-1．（1）若l与C左支交于两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AO - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知曲线Cx²-y²=1及直线l：y=kx-1．
（1）若l与C左支交于两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为

，求实数k的值．

答案

（1）由

x2-y2=1

y=kx-1

消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0．
∵l与C左支交于两个不同的交点
∴

1-k2≠0

△=4k2+8(1-k2)＞0

且x₁+x₂=-

1-k2

＜0，x₁x₂=-

1-k2

＞0
∴k的取值范围为（-

，-1）
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由（1）得x₁+x₂=-

1-k2

，x₁x₂=-

1-k2

．
又l过点D（0，-1），
∴S_△OAB=

|x₁-x₂|=

．
∴（x₁-x₂）²=（2

）²，即（-

1-k2

）²+

1-k2

=8．
∴k=0或k=±

．

核心考点

试题【已知曲线Cx2-y2=1及直线l：y=kx-1．（1）若l与C左支交于两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AO】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知F₁，F₂为双曲线

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点．
（Ⅰ）若点P为双曲线与圆x²+y²=a²+b²的一个交点，且满足|PF₁|=2|PF₂|，求此双曲线的离心率；
（Ⅱ）设双曲线的渐近线方程为y=±x，F₂到渐近线的距离是

，过F₂的直线交双曲线于A，B两点，且以AB为直径的圆与y轴相切，求线段AB的长．

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[理]如图，已知动点A，B分别在图中抛物线y²=4x及椭圆

=1的实线上运动，若AB∥x轴，点N的坐标为（1，0），则△ABN的周长l的取值范围是______．
[文]点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，则P到直线y=x-2的距离的最小值是______．

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如图所示，F₁，F₂分别为椭圆C：

=1(a＞b＞0)的左、右两个焦点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点到F₁，F₂两点的距离之和为4且b=

．
（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过椭圆C的焦点F₂作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F₁PQ的面积．

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附加题：已知半椭圆

=1(x≥0)与半椭圆

=1(x≤0)组成的曲线称为“果圆”，其中a²=b²+c²，a＞b＞c＞0，F₀、F₁、F₂是对应的焦点．
（1）（文）若三角形F₀F₁F₂是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程．
（2）（理）当|A₁A₂|＞|B₁B₂|时，求

的取值范围．

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已知直线L过点P（2，0），斜率为

，直线L和抛物线y2=2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：
（1）P，M两点间的距离/PM/：（2）M点的坐标；（3）线段AB的长．

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