（文）如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．（1）求x1x2与y1y2的值；（2）求 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

（文）如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y²=2x于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．
（1）求x₁x₂与y₁y₂的值；
（2）求证：OA⊥OB．

答案

（1）设直线l的方程为：y=k（x-2）（k≠0），
由

y=k(x-2)

y2=2x

得k²x²-（4k²+2）x+4k²=0，k≠0，△＞0，
则x1+x2=

4k2+2

，x₁x₂=

4k2

=4，
y₁y₂=k²（x₁-2）（x₂-2）=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]=k²•[4-2×

4k2+2

+4]=k²•（-

）=-4．
所以x₁x₂=4，y₁y₂=-4．
（2）由（1）知，x₁x₂=4，y₁y₂=-4，
所以

•

=（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂=4-4=0，
所以

⊥

，即OA⊥OB．

核心考点

试题【（文）如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．（1）求x1x2与y1y2的值；（2）求】；主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]

举一反三

长方形ABCD，AB=2

，BC=1，以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程：
（2）过点p（0，2）的直线m与（1）中椭圆只有一个公共点，求直线m的方程：
（3）过点p（0，2）的直线l交（1）中椭圆与M，N两点，是否存在直线l，使得以弦MN为直径的圆恰好过原点？若存在，直线l的方程；若不存在，说明理由．

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已知椭圆C₁：

=1(a＞b＞0)的离心率为

，并且直线y=x+b是抛物线C₂：y²=4x的一条切线．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程．
（Ⅱ）过点S(0，-

)的动直线l交椭圆C₁于A、B两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在求出T的坐标；若不存在，请说明理由．

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已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的左焦点为F（-1，0），离心率为

，过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．

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已知双曲线C：x²-y²=1，l：y=kx+1
（1）求直线L的斜率的取值范围，使L与C分别有一个交点，两个交点，没有交点．
（2）若Q（1，1），试判断以Q为中点的弦是否存在，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

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已知点P为抛物线y²=2x上的动点，则点P到直线y=x+2的距离的最小值为______．

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