题目

题型：不详难度：来源：

已知过点(0，1)的直线l与曲线C：交于两个不同点M和N。求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹。

答案

点P的轨迹为(2，2)，(2，2.5)两点间的线段（不含端点）。

解析

设点M、N的坐标分别为(x₁，y₁)和(x₂，y₂)，曲线C在点M、N处的切线分别为l₁、l₂，其交点P的坐标为(x_p，y_p)。若直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1。
由方程组，消去y，得，即。由题意知，该方程在(0，+∞)上有两个相异的实根x₁、x₂，故k≠1，且…(1)，…(2)，…(3)，由此解得。对求导，得，则，，于是直线l₁的方程为，
即，化简后得到直线l₁的方程为…(4)。同理可求得直线l₂的方程为…(5)。(4)-(5)得，因为x₁≠x₂，故有…(6)。将(2)(3)两式代入(6)式得x_p=2。(4)+(5)得…(7)，其中，，代入(7)式得，而x_p=2，得。又由得，即点P的轨迹为(2，2)，(2，2.5)两点间的线段（不含端点）。