题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分13分）已知、，椭圆C的方程为，、分别为椭圆C的两个焦点，设为椭圆C上一点，存在以为圆心的与外切、与内切
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆C相交于A、B两点，与轴相交于点D，若
求的值；
（Ⅲ）已知真命题：“如果点T（）在椭圆上，那么过点T
的椭圆的切线方程为=1.”利用上述结论，解答下面问题：
已知点Q是直线上的动点，过点Q作椭圆C的两条切线QM、QN，
M、N为切点，问直线MN是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由。

答案

（Ⅰ）椭圆C的方程为+=1
（Ⅱ）
（Ⅲ）直线MN必过定点（）

解析

本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想
（Ⅰ）依题意可知，P与外切、内切. 设P的半径为，则 
  -----------------------------------2分
，   2=4，2==2
=2，c="1" , 椭圆C的方程为+="1 " ------------------------4分
（Ⅱ）直线AB：y=k（x-1），由  
,令A,则，
，      ------------------------------------6分
∵
∴，
∵2=，， ------------------------------------8分
2+
=
= ，     ∴. -----------------------10分
（Ⅲ）设Q（）,M（），N（）
则切线QM：
切线QN：
∴     ∴M、N在直线上
∴ 直线MN：------------------------------------12分
又   
∴直线MN必过定点（）. ------------------------------------13分