题目

题型：不详难度：来源：

（满分12分）直线l 与抛物线y² = 4x 交于两点A、B，O 为原点，且= －4．
(I)       求证：直线l 恒过一定点；
(II)     若 4≤| AB | ≤，求直线l 的斜率k 的取值范围；
(Ⅲ) 设抛物线的焦点为F，∠AFB = θ，试问θ 角能否等于120°？若能，求出相应的直线l 的方程；若不能，请说明理由．

答案

(Ⅰ)见解析
(Ⅱ) kÎ [－1, －]∪[ , 1 ]．
(Ⅲ)见解析 

解析

(I) 1°若直线l 与x 轴不垂直，
设其方程为y = kx + b，l 与抛物线y² = 4x 的交点坐标分别为A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)，
由·= －4 得x₁x₂ + y₁y₂ = －4，即+ y₁y₂ = －4，
则y₁y₂ = －8．        1分
又由得ky²－4y + 4b =" 0" (k≠ 0)．
则y₁y₂ = = －8，即b = －2k，      2分]
则直线l 的方程为y = k (x－2)，则直线l 过定点 (2, 0)．        3分
2°若直线l⊥x 轴，易得x₁ = x₂ = 2，则l 也过定点 (2, 0)．
综上，直线l 恒过定点 (2, 0)．    4分
(II) 由 (I) 得 | AB | ² =" (1" + )(y₂－y₁) ² = ( + 32)         6分
从而 6 ≤( + 2) ≤ 30． 7分
解得kÎ [－1, －]∪[ , 1 ]．          8分
(III) 假定θ = p，则有cosθ = －，
如图，即= － (*)           9分
由 (I) 得y₁y₂ = －8，x₁x₂ = = 4．
由定义得 | AF | = x₁ + 1，| BF | = x₂ + 1．
从而有 | AF | ² + | BF | ²－| AB | ² = (x₁ + 1) ² + (x₂ + 1) ²－(x₁－x₂) ²－(y₁－y₂) ²
= －2 (x₁ + x₂)－6，        12分
| AF |·| BF | = (x₁ + 1) (x₂ + 1) = x₁x₂ + x₁ + x₂ + 1 = x₁ + x₂ + 5
将代入 (*) 得= －，即x₁ + x₂ + 1 = 0．
这与x₁ > 0 且x₂ > 0 相矛盾！      13分
经检验，当AB⊥x 轴时，θ =" 2" arctan 2> p．
综上，θ≠p．    14分