题目

题型：不详难度：来源：

（本大题满分14分）
已知△的两个顶点的坐标分别是，，且所在直线的斜率之积等于．
（Ⅰ）求顶点的轨迹的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线；
（Ⅱ）当时，过点的直线交曲线于两点，设点关于轴的对称点为(不重合)．求证直线与轴的交点为定点，并求出该定点的坐标．

答案

(1) (1) 当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；
当时 轨迹表示以为圆心半径是１的圆，且除去两点；
当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；
当时  轨迹表示焦点在轴上的双曲线，且除去两点
(2) 直线过定点  

解析

试题分析：（Ⅰ）由题知： 
化简得：                  ……………………………2分
当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；
当时 轨迹表示以为圆心半径是１的圆，且除去两点；
当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；
当时  轨迹表示焦点在轴上的双曲线，且除去两点；
……………………………6分
（Ⅱ）设 
依题直线的斜率存在且不为零，则可设:，
代入整理得
，，               ………………………………9分
又因为不重合，则
的方程为 令，
得
故直线过定点.                        ……………………………13分
解二：设
依题直线的斜率存在且不为零，可设:
代入整理得：
,，                ……………………………9分
的方程为  令，
得
直线过定点                        ……………………………13分
点评：解决含参数的曲线方程的问题，主要是关注我们方程的特点来分类讨论得到，同时能结合设而不求的思想求解坐标，进而求解直线方程，属于中档题。